Question

【題目】如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動點在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結．

（1）求的度數；

（2）若點在線段上時，求證：；

（3）當動點在直線上時，設直線與直線的交點為，試判斷是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）證明見解析；（3）是定值，.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可以直接得出結論；

（2）根據等邊三角形的性質就可以得出，，，，由等式的性質就可以，根據就可以得出；

（3）分情況討論：當點在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結論；當點在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結論；當點在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結論．

（1）是等邊三角形，

．

線段為邊上的中線，

，

．

（2）與都是等邊三角形，

，，，

，

．

在和中

，

；

（3）是定值，，

理由如下：

①當點在線段上時，如圖1，

由（2）可知，則，

又，

，

是等邊三角形，線段為邊上的中線

平分，即

．

②當點在線段的延長線上時，如圖2，

與都是等邊三角形，

，，，

，

，

在和中

，

，

，

同理可得：，

．

③當點在線段的延長線上時，

與都是等邊三角形，

，，，

，

，

在和中

，

，

，

同理可得：

，

∵，

．

綜上，當動點在直線上時，是定值，．