Question

【題目】如圖，在正方形中，點分別是上的兩個動點(不與點重合)，且，延長到，使，連接．

（1）依題意將圖形補全；

（2）小華通過觀察、實驗、提出猜想：在點運動過程中，始終有．經過與同學們充分討論，形成了幾種證明的想法：

想法一：連接，證明是等腰直角三角形；

想法二：過點作的垂線，交的延長線于，可得是等腰直角三角形，證明；

……

請參考以上想法，幫助小華證明．(寫出一種方法即可)

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）想法一的證明見解析；想法二的證明見解析．

【解析】

（1）先分別在上取點，使得，再延長到，使，然后連接即可；

（2）想法一：先根據正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質得出，，再根據角的和差、等量代換可得，從而可得是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質可得，最后根據垂線平分線的判定與性質可得，由此即可得證；

想法二：先根據正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質得出，從而可得是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得，然后根據三角形全等的判定定理與性質得出，由此即可得證．

（1）先分別在上取點，使得，再延長到，使，然后連接，補全圖形如下所示：

（2）想法一：如圖，連接

四邊形ABCD是正方形

在和中，

，

，即

是等腰直角三角形

又

是線段FG的垂直平分線

；

想法二：如圖，過點作的垂線，交的延長線于，連接HF

四邊形ABCD是正方形

在和中，

是等腰直角三角形

，即

，即

在和中，

．