Question

【題目】如圖1，在中，，,，以OB為邊，在外作等邊，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）連接AC，BE交于點P，求AP的長及AP邊上的高BH；

（3）在（2）的條件下，將四邊形OABC置于如圖所示的平面直角坐標系中，以E為坐標原點，其余條件不變，以AP為邊向右上方作正方形APMN：

①M點的坐標為 ．

②直接寫出正方形APMN與四邊形OABC重疊部分的面積（圖中陰影部分）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），；（3）①；②

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊中線的性質可得DO=DA，推出∠AEO=60°，進一步得出BC∥AE，CO∥AB，可得結論；
（2）先計算出OA=，推出PB=，利用勾股定理求出AP=，再利用面積法計算BH即可；
（3）①求出直線PM的解析式為y=x-3，再利用兩點間的距離公式計算即可；
②易得直線BC的解析式為y=x+4，聯立直線BC和直線PM的解析式成方程組，求得點G的坐標，再利用三角形面積公式計算．

（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點，
∴AD=OB，OD=BD=OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，

∴∠AEO=60°，
又∵△OBC為等邊三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，

∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，

∴CO∥AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=8，
∴AB=4，
∴OA=，
∵四邊形ABCE是平行四邊形，
∴PB=PE，PC=PA，
∴PB=，

∴

∴，

即

∴；

（3）①∵C（0，4），
設直線AC的解析式為y=kx+4，
∵P（，0），
∴0=k+4，
解得，k=，
∴y=x+4，
∵∠APM=90°，
∴直線PM的解析式為y=x+m，
∵P（，0），
∴0=×+m，
解得，m=-3，
∴直線PM的解析式為y=x-3，

設M（x，x-3），
∵AP=，
∴（x-）2+（x-3）2=（）2，
化簡得，x2-4x-4=0，
解得，x1=，x2=（不合題意舍去），
當x=時，y=×（）-3=，
∴M（，），
故答案為：（，）；

②∵

∴直線BC的解析式為：，

聯立，解得，

∴，