Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，點F在射線CM上，∠AEF=90°，AE=EF，過點F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC．

（1）試判斷BE與FH的數量關系，并說明理由；

（2）求證：∠ACF=90°；

（3）如圖2，過A、E、F三點作圓，若EC=4，∠CEF=15°，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）BE=FH（2）證明見解析（3）2π

【解析】

試題分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH

（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，從而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH為45°，而∠ACB也為45°，從而可證明

（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直徑，設圓心為O，連接EO，過點E作EN⊥AC于點N，則可得△ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進而可得AE的長，得到半徑，得到所對圓心角的度數，從而求得弧長.

試題解析：（1）BE=FH．

理由：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，

∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠HEF=∠BAE，

在△ABE和△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS）

∴BE=FH．

（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，

∵在正方形ABCD中，BC=AB，∴BE=CH，

∴CH=FH，∴∠HCF=45°，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，

∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°．

（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=FH．

∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．

如圖2，過點C作CP⊥EF于點P，

則CP=CF=FH．

∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，

∴△CPE∽△FHE．

∴，即，

∴EF=,

∵△AEF為等腰直角三角形，∴AF=8．

連結AF，取AF中點O，連結接OE，

∵∠AEF=90°，∴AF為⊙O的直徑，

則OE=OA=4，∠AOE=90°，

∴AE的長為：．