Question

（2013•張家界）閱讀材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，將等式兩邊同時乘以2得：
   2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
   將下式減去上式得2S-S=2²⁰¹⁴-1
   即S=2²⁰¹⁴-1
   即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴-1
請你仿照此法計算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰
（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n為正整數）．

Answer 1

分析：（1）設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，兩邊乘以2后得到關系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
將等式兩邊同時乘以2得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，
將下式減去上式得：2S-S=2¹¹-1，即S=2¹¹-1，
則1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；

（2）設S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，
兩邊乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹，
下式減去上式得：3S-S=3ⁿ⁺¹-1，即S=

1

2

（3ⁿ⁺¹-1），
則1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=

1

2

（3ⁿ⁺¹-1）．

點評：此題考查了同底數冪的乘法，弄清題中的技巧是解本題的關鍵．