Question

我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖所示，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．
（1）請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）你能求出經過點C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；
（3）開動腦筋想一想，相信你能求出經過點D的“蛋圓”切線的解析式．

Answer 1

分析：（1）易得點A、B的坐標，用交點式設出二次函數解析式，把D坐標代入即可．自變量的取值范圍是點A、B之間的數．
（2）先設出切線與x軸交于點E．利用直角三角形相應的三角函數求得EM的長，進而求得點E坐標，把C、E坐標代入一次函數解析式即可求得所求的解析式．
（3）設出所求函數解析式，讓它與二次函數組成方程組，消除y，讓跟的判別式為0，即可求得一次函數的比例系數k．

解答：解：（1）根據題意可得：A（-1，0），B（3，0）；
則設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
又∵點D（0，-3）在拋物線上，
∴a（0+1）（0-3）=-3，解之得：a=1
∴y=x²-2x-3（3分）
自變量范圍：-1≤x≤3（4分）

（2）設經過點C“蛋圓”的切線CE交x軸于點E，連接CM，
在Rt△MOC中，
∵OM=1，CM=2，
∴∠CMO=60°，OC=

3

在Rt△MCE中，
∵MC=2，∠CMO=60°，
∴ME=4
∴點C、E的坐標分別為（0，

3

），（-3，0）（6分）
∴切線CE的解析式為y=

3

3

x+

3

（8分）

（3）設過點D（0，-3），“蛋圓”切線的解析式為：y=kx-3（k≠0）（9分）
由題意可知方程組

y=kx-3 y=x2-2x-3

只有一組解
即kx-3=x²-2x-3有兩個相等實根，
∴k=-2（11分）
∴過點D“蛋圓”切線的解析式y=-2x-3．（12分）

點評：本題以半圓與拋物線合成的封閉圖形“蛋圓”為背景，考查一次函數、二次函數有關性質，解題過程中涉及解一元一次方程、一元二次方程、方程組相關知識與技能，是一道綜合性很強的試題．