Question

我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．
（1）請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）開動腦筋想一想，相信你能求出經過點D的“蛋圓”切線的解析式．
（3）如果直線x=m在線段OB上移動，交x軸于點D，交拋物線于點E，交BD于點F．連接DE和BE后，對于問題“是否存在這樣的點E，使△BDE的面積最大？”小明同學認為：“當E為拋物線的頂點時，△BDE的面積最大．”他的觀點是否正確？提出你的見解，若△BDE的面積存在最大值，請求出m的值以及點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先設該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．再根據點A、B、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2得到A、B、D三點的坐標值，代入即可寫出方程組，解得a、b、c的值．
（2）設過點D（0，-3）的“蛋圓”切線的解析式為y=kx-3．根據點D是“蛋圓”與“蛋圓”切線的解析式為y=kx-3的交點．那么聯立這兩式．根據判別式△=0，即可得到k的取值．那么過點D（0，-3）的“蛋圓”切線也就確定．
（3）首先確定出B、D、F、E的坐標值．再根據S_△BDE=S_△BDF+S_△DEF通過它們的橫坐標、縱坐標的差值表示兩個三角形的面積．再根據二次函數的性質，使△BDE的面積最大時，求得m的值．進而驗證小明的觀點．

解答：解：（1）設該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
根據題意知A、B、D點的坐標分別是（-1，0）、（3，0）、（0，-3），
則可列方程組

0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c

，
解得c=-3、a=1、b=-2，
∴“蛋圓”拋物線部分的解析式為y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；

（2）設過點D（0，-3）的“蛋圓”切線的解析式為y=kx-3，
將其代入拋物線部分的解析式為y=x²-2x-3得
kx-3=x²-2x-3，即x²-（2+k）x=0，
∵△=（2+k）²=0，
∴k=-2，
∴過點D（0，-3）的“蛋圓”切線的解析式為y=-2x-3；

（3）由上面知B、D點的坐標分別是（3，0）、（0，-3），
則直線BD的解析式為y=x-3，
∵點F為直線x=m與直線BD的交點，點E為直線x=m與拋物線y=x²-2x-3的交點，
∴點F的坐標為（m，m-3），點E的坐標為（m，m²-2m-3），
∴S_△BDE=S_△BDF+S_△DEF=

1

2

×EF×OD+

1

2

×EF×DB，
=

1

2

×EF×OB，
=

1

2

[m-3-(m2-2m-3)]×3，
=

3

2

(3m-m2)，
=-

3

2

(m-

3

2

)2+

27

8

，
又∵0≤m≤3，
∴當m=

3

2

，S_△BDE取最大值

27

8

，點E的坐標為（

3

2

，-

9

4

），
∵拋物線的頂點為（1，-4），
∴小明同學認為：“當E為拋物線的頂點時，△BDE的面積最大．”這樣的觀點是錯誤的．
答：（1）“蛋圓”拋物線部分的解析式為y=x²-2x-3（-1≤x≤3）．
（2）過點D（0，-3）的“蛋圓”切線的解析式為y=-2x-3．
（3）存在這樣的點E的坐標為（

3

2

，-

15

4

），使△BDE的面積最大為

27

8

；小明同學認為：“當E為拋物線的頂點時，△BDE的面積最大．”這樣的觀點是錯誤的．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意動點的取值范圍，求三角形面積時注意坐標差值的符號．