Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點E．

（1）若B、C在DE的同側（如圖1所示）且AD=CE，AB與AC垂直嗎？為什么？

（2）若B、C在DE的兩側（如圖2所示），其他條件不變，AB與AC是否垂直嗎？若垂直請給出證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB⊥AC．

【解析】試題分析：（1）由已知條件，證明△ABD≌△CAE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可得到AB⊥AC；

（2）同（1），先證△ABD≌△CAE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC．

試題解析：（1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵AB=AC，AD=CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．

∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．

∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°，∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC．理由如下：

同（1）一樣可證得△ABD≌△CAE，∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，∴AB⊥AC．