Question

如圖，以AB為直徑的半圓O上有一點C，過A點作半圓的切線交BC的延長線于點D．
（1）求證：△ADC∽△BDA；
（2）過O點作AC的平行線OF分別交BC，

BC

于E、F兩點，若BC=2

3

，EF=1，求

AC

的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
∵AD為半圓O的切線，
∴∠BAD=90°，
∴∠ACD=∠BAD．
又∵∠ADC=∠BDA，
∴△ADC∽△BDA．

（2）連接OC，
∵OE∥AC，
∴OE⊥BC，
∴BE=EC=

3

．
在Rt△OBE中，設(shè)OB=x，則有：x²=（

3

）²+（x-1）²
∴x=OB=2，
∴OE=1，
∴∠OBE=30°，
∴∠AOC=60°，
∴

AC

的長=

60π×2

180

=

2π

3

．