Question

【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC,點E在AC的垂直平分線上,且BD=DE.

(1)如果△ABC的周長為14cm,AC=6cm,那么△ABE的周長=____;

(2)你發現線段AB與BD的和等于圖中哪條線段的長?請證明你的結論.

Answer 1

【答案】8cm

【解析】

（1）通過線段的等量代換即可求解；
（2）由AD⊥BC，BD=DE，點E在AC的垂直平分線上，根據線段垂直平分線的性質，可得AE=EC，AB=AE，繼而證得AB+BD=AE+DE=DC．

(1) ∵點E在AC的垂直平分線上，

∴AE＝CE，

∵AD⊥BC

∴∠ADB＝∠ADE

在△ABD和△ADE中

∴△ABD≌△ADE（SAS）

∴AB＝AE，

又∵△ABE的周長是：AB+BE+AE,

∴△ABE的周長=AB+BE+CE=AB+BC,

∵△ABC的周長為14cm，AC=6cm，
∴AB+BC=14-6=8，
∴△ABE的周長=AB+BC=8cm．
故答案為：8；

(2) AB+BD=DC.證明如下:

∵AD⊥BC,BD=DE,AD=AD,

∴△ABD≌△AED(SAS)，

∴,AB=AE.

又∵點E在AC的垂直平分線上,

∴AE=EC,

∴AB=EC.

∴AB+BD=EC+DE=DC.