Question

【題目】閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．
已知在平面內兩點P1（x1 ， y1）、P2（x2 ， y2），其兩點間的距離 ，
同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點間的距離；
（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4，點B的縱坐標為﹣1，試求A、B兩點間的距離；
（3）已知一個三角形各頂點坐標為D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由；
（4）平面直角坐標中，在x軸上找一點P，使PD+PF的長度最短，求出點P的坐標以及PD+PF的最短長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），

∴AB= =13

（2）解：∵A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4，點B的縱坐標為﹣1，

∴AB=|4﹣（﹣1）|=5

（3）解：△DEF為等腰三角形，理由為：

∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），

∴DE= =5，DF= =5，EF= =6，即DE=DF，

則△DEF為等腰三角形

（4）解：做出F關于x軸的對稱點F′，連接DF′，與x軸交于點P，此時DP+PF最短，

設直線DF′解析式為y=kx+b，

將D（1，6），F′（4，﹣2）代入得： ，

解得： ，

∴直線DF′解析式為y=﹣ x+ ，

令y=0，得：x= ，即P（ ，0），

∵PF=PF′，

∴PD+PF=DP+PF′=DF′= = ，

則PD+PF的長度最短時點P的坐標為（ ，0），此時PD+PF的最短長度為 ．

【解析】（1）代入公式易得AB= =13。
（2）由于A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4，點B的縱坐標為﹣1，有公式易得AB=|4﹣（﹣1）|=5；
（3）由三角形各頂點坐標為D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2）代入公式可得各點之間的距離，再利用勾股定理的逆定理可得三角形為直角三角形；
（4）做出F關于x軸的對稱點F′，連接DF′，與x軸交于點P，此時DP+PF最短，求得直線DF′解析式可得P點坐標，再利用公式可得PD+PF的最短長度為
【考點精析】利用軸對稱-最短路線問題對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．