Question

【題目】如圖，已知拋物線（為常數，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點，與軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一交點為D.

（1）若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數表達式；

（2）若在第一象限的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求的值；

（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止. 當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）F.

【解析】

試題（1）根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，依次求出的值得到直線的解析式、點D的縱坐標、的值得到拋物線的函數表達式.

∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=

（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可.

（3）過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求，理由是，由于點M在線段AF上以每秒1個單位的速度運動，在線段FD上以每秒2個單位的速度運動，從而根據直線BD的傾斜角是30°知道，又根據垂直線段最短的性質知點F即為所求，從而根據含30°直角三角形的性質求解即可.

試題解析：（1）∵拋物線（為常數，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點，

∴A（-2，0），B（4，0）.

∵點B在直線上，∴，即.

∴直線的解析式為.

∵點D在直線上，且橫坐標為-5，∴縱坐標為.

∵點D在拋物線上，∴，解得.

∴拋物線的函數表達式為.

（2）易得，點C的坐標為，則.

設點P的坐標為，

分兩種情況：

①若△PAB∽△ABC，則∠PAB=∠ABC，.

∴由∠PAB=∠ABC 得，即.

∴，解得.

此時點P的坐標為，，

∴由得，解得.

②若△PAB∽△BAC，則∠PAB=∠BAC，.

∴由∠PAB=∠BAC 得，即.

∴，解得.

此時點P的坐標為，，

∴由得，解得.

（3）如圖，過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求.

∵直線BD的解析式為，∴∠FBA=∠FGD=30°.

∵AB=6，∴AF=.

∴點F的坐標為.