Question

【題目】（1）如圖1，四邊形中，，，點分別在邊上，且，求證：.

（2）如圖2，四邊形中，，點在邊上，連接，平分交于點，，，連接.

①找出圖中與相等的線段，并加以證明；

②求的度數（用含的式子表示）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①FN；②90°-α．

【解析】

（1）如圖，將△EFA繞點E逆時針旋轉∠FEH的度數得到△EHQ．證明△BEA≌△BEQ（SAS）即可解決問題．

（2）①證明△NEF≌△NEH（SAS）即可．

②如圖，在GH上取一點P，使得NP=NH，連接NP．作NQ⊥PH于Q，NO⊥GF交GF的延長線于O．由角平分線的性質證明EM=EN即可解決問題．

（1）如圖2中，將△EFA繞點E逆時針旋轉∠FEH的度數得到△EHQ．

∴FA=QH，

∵，∠EFA=∠EHQ，

∴∠EHG+∠EHQ=180°，

∴D，H，Q共線，

∵∠AEQ=∠BAD，∠AEB=∠FEH，

∴∠AEB =∠BEQ，

∵EA=EQ，EB=EB，

∴△EAB≌△EQB，

∴AB=QB，

∵FA=QH，

∴AB=HB+HQ=HB+FA．

（2）①如圖，結論：FN=HN．

理由：∵EN平分∠FEH，

∴∠NEF=∠NEH，

∵FE=EH，EN=EH，

∴△NEF≌△NFH（SAS），

∴FN=HN．

②如圖，在GH上取一點P，使得NP=NH，連接NP．作NQ⊥GH于Q，NO⊥GF交GF的延長線于O．

∵△NFE≌△NHE，

∴∠ENF=∠ENH，

∴∠MNH=180°-α-α=180°-2α，

∵∠FGH=180°-2α，

∴∠FGH=∠MNH，

∵∠MNH+∠FNH=180°，

∴∠FGH+∠FNH=180°，

∴∠GFN+∠GHN=180°，

∵NP=NH，

∴∠NPH=∠NHP，

∵∠NPH+∠GPN=180°，

∴∠GFN=∠GPN，

∴∠NPQ=∠NFO，

∵NF=NP=NH，∠O=∠NQP=90°，

∴△NQP≌△NOF，

∴NO=NQ，

∵NO⊥GO，NQ⊥GH，

∴GN平分∠FGH，

∴∠NGH=（180°-2α）=90°-α．