Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB、CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）由平行四邊形的性質和AAS證明△OBE≌△ODF，得出對應邊相等即可；

（2）證出AE=GE，再證明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出結果．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠OBE=∠ODF．

在△OBE與△ODF中，∵∠OBE=∠ODF，∠BOE=∠DOF，BE=DF，∴△OBE≌△ODF（AAS），∴BO=DO．

（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°，∴AE=GE．∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°，∴∠GOD=∠G=45°，∴DG=DO，∴OF=FG=1，由（1）可知，OE=OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3，∴AE=3．