Question

【題目】（2017山東省萊蕪市）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，連結AC、AD、BE，BE分別與AC和AD相交于點F、G，連結DF，給出下列結論：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S四邊形CDEF）2=9+2；④DF2﹣DG2=7﹣2．其中正確結論的個數是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】解：①∵五方形ABCDE是正五邊形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣=108°，∴∠BAC=∠ACB=36°，∴∠ACD=108°﹣36°=72°，同理得：∠ADE=36°，∵∠BAE=108°，AB=AE，∴∠ABE=36°，∴∠CBF=108°﹣36°=72°，∴BC=FC，∵BC=CD，∴CD=CF，∴∠CDF=∠CFD=（180°-72°）÷2=54°，∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；

所以①正確；

②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，∴△ABF∽△ACB，∴，∴ABED=ACEG，∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG=3+＞2（舍），FG=3﹣；

所以②正確；

③如圖1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，∴∠EBC+∠BCD=180°，∴EF∥CD，∵EF=CD=2，∴四邊形CDEF是平行四邊形，過D作DM⊥EG于M，∵DG=DE，∴EM=MG=EG=（EF﹣FG）=（2﹣3+）=，由勾股定理得：DM== =，∴（S四邊形CDEF）2=EF2×DM2=4×=10+2；

所以③不正確；

④如圖2，連接EC，∵EF=ED，∴CDEF是菱形，∴FD⊥EC，∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣）=1+，∴S四邊形CDEF=/span>FDEC=2×，×FD×（1+）=，FD2=10﹣2，∴DF2﹣DG2=10﹣2﹣4=6﹣2，所以④不正確；

本題正確的有兩個，故選B．