Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.

（1）求證：四邊形ADCE是矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形？給出證明.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形

【解析】(1)證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC．∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE．∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°．

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC＝∠CEA＝90°．

∴四邊形ADCE為矩形．

(2)條件不唯一．例如，當∠BAC＝90°時，四邊形ADCE是正方形．

證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于D，

∴∠ACD＝∠DAC＝45°．

∴DC＝AD．

由(1)知四邊形ADCE為矩形，

∴矩形ADCE是正方形．