Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（ ）

① △ABE的面積與△BCE的面積相等；② ∠AFG＝∠AGF；③ ∠FAG＝2∠ACF；④ BH＝CH

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】根據(jù)三角形中線的性質可得:△ABE的面積和△BCE的面積相等,故①正確,

因為∠BAC＝90°,所以∠AFG+∠ACF=90°,因為AD是高,所以∠DGC+∠DCG=90°,

因為CF是角平分線,所以∠ACF=∠DCG,所以∠AFG=∠DGC,又因為∠DGC=∠AGF,所以

∠AFG＝∠AGF,故②正確,

因為∠FAG+∠ABC=90°, ∠ACB+∠ABC=90°,所以∠FAG=∠ACB,又因為CF是角平分線,所以∠ACB＝2∠ACF,所以∠FAG＝2∠ACF,故③正確,

④假設BH＝CH, ∠ACB=30°,則∠HBC=∠HCB =15°, ∠ABC=60°,

所以∠ABE=60°－15°=45°,因為∠BAC＝90°,所以AB=AE,因為AE=EC,所以AB=,這與在直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半相矛盾,所以假設不成立,故④不一定正確,

故選A.