Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是BC邊上的點，CD＝1，將△ACD沿直線AD翻折，點C剛好落在AB邊上的點E處．若P是直線AD上的動點，則△PEB的周長的最小值是______．

Answer 1

【答案】1+

【解析】連接CE，交AD于M，

∵沿AD折疊C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD。

∴AD垂直平分CE，即C和E關于AD對稱，CD=DE=1。

∴當P和D重合時，PE+BP的值最小，即可此時△BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC。

∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°。

∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+。

∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠CAB=30°。

∴AB=2BC=2×（1+）=2+。AC=BC=+2。

∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=。

∴△PEB的周長的最小值是BC+BE=1++=1+。