Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點．連接CE，連接DE交AC于F，AD=4，AB=6．

（1）求證：△ADC∽△ACB；

（2）求AC的值；

（3）求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC=2；（3）=．

【解析】

試題分析：（1）根據兩個角對應相等的兩個三角形相似證明即可；

（2）根據相似三角形的對應邊的比相等列出比例式，計算即可；

（3）根據直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到CE=AE，證明△AFD∽△CFE，根據相似三角形的性質解答即可．

（1）證明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB；

（2）解：∵△ADC∽△ACB，

∴=，即AC2=ADAB=24，

解得，AC=2；

（3）解：∵E為AB的中點，

∴CE=AB=AE，

∴∠EAC=∠ECA；

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

∴△AFD∽△CFE，

∴=，

∵CE=AB=3，AD=4，

∴=，

∴=．