Question

【題目】如圖，△ABC是半徑為2的⊙O的內接三角形，連接OA、OB，點D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點．
（1）試判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；
（2）填空： ①若AB=3，當CA=CB時，四邊形DEFG的面積是；
②若AB=2，當∠CAB的度數為時，四邊形DEFG是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形DEFG是平行四邊形．

∵點D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點，

∴DG∥AB，DG= AB，EF∥AB，EF= AB，

∴DG∥EF，DG=EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）；75°或15°
【解析】解：（2）①連接OC．
∵CA=CB，
∴ = ，
∴DG⊥OC，
∵AD=DC，AE=EO，
∴DE∥OC，DE= OC=1，同理EF= AB= ，
∴DE⊥DG，
∴四邊形DEFG是矩形，
∴四邊形DEFG的面積= ．
所以答案是 ；②當C是優弧AB的中點時，四邊形DEFG是正方形，此時∠CAB=75°，
當C是劣弧AB的中點時，四邊形DEFG是正方形，此時∠CAB=15°，
所以答案是75°或15°．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的判定方法(先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角)，還要掌握三角形的外接圓與外心(過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心)的相關知識才是答題的關鍵．