Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，則∠BDF的度數是多少？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，

∴∠FDC=36°，

∵DF⊥AC，

∴∠DCO=90°﹣36°=54°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OC=OD，

∴∠ODC=54°，

∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．

【解析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證明∠ABC=∠ADC=90°，即可得；
（2）先求出∠FDC=36°，再由DF⊥AC，可得∠DCO=54°，再由矩形的性質可得∠ODC=54°，從而求得∠BDF的度數.