Question

【題目】如圖：矩形ABCD中AB=2，BC= ，⊙A是以A為圓心，半徑r=1的圓，若⊙A繞著點B順時針旋轉，旋轉角為α（ 0°＜α＜180°）；當旋轉后的圓與矩形ABCD的邊相切時，α=________度．

Answer 1

【答案】30或60或120

【解析】

由⊙A的半徑為1，可知當圓在矩形內部時，則與AD、BC、AB都相切，設與BC的切點為E，此時圓心為A′，連接A′E、A′B，可求得∠A′BE=30°，則可求得∠ABA′；當圓在矩形外部與BC相切時，設圓心為A″，同理可求得∠A″BE=30°，則可求得∠A″BA，當與AB相切時，設圓心為A′′′，則A′′′到AB的距離為1，到B的距離為2，可求得∠A′′′BA=30°，可求得答案．

解：

∵⊙A是以A為圓心，半徑r=1的圓，AB=2，

∴當圓在矩形內部時，則與AD、BC都相切，

設與BC的切點為E，此時圓心為A′，連接A′E、A′B，如圖，

則在Rt△A′BE中，A′E=1，A′B=AB=2，

∴∠A′BE=30°，

∴∠A′BA=90°-30°=60°；

當圓在矩形外部與BC相切時，設圓心為A″，

同理可求得∠A″BE=30°，

∴∠A″BA=90°+30°=120°；

當圓與AB相切時，設圓心為A′′，可知A′′到AB的距離=1，A′′′B=2，
同理可求得∠A′′′BA=30°，

綜上可知α=30°或60°或120°

故答案為：30或60或120．