Question

【題目】已知，如圖，點D是等邊三角形ABC的外接圓上的一點，過點D作圓的切線，交BC的延長線于F．

（1）用尺規作圖，作出等邊三角形ABC外接圓的圓心O；

（2）若⊙O的半徑為2，∠F＝45°，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）作出AC，BC邊上的高所在的直線，兩直線交于點O，點O即為所求．

（2）連接DO并延長交BC于G，AO交BC于H，根據CF＝GF﹣GH﹣HC，求出GF，CH，GH即可．

（1）作圖點O如圖所示．

（2）連接DO并延長交BC于G，設AO交BC于H．

∵點O是△ABC外接圓的圓心，

∴AH是BC的垂直平分線，BO平分∠ABC，OB是⊙O的半徑，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠OBH＝30，

∴OH＝OB＝1，

∴在Rt△OBH中，BH＝，

∴CH＝BH＝，

∵DF是⊙O的切線，

∴∠GDF＝90°，

∵∠F＝45°，

∴△DGF，△OGH是等腰直角三角形，

∴GH＝OH＝1，

∴在Rt△OGH中，OG＝，

∴DF＝DG＝DO+GO＝2+，

∴在Rt△DGF中，GF＝，

∴CF＝GF﹣GH﹣HC＝．