Question

【題目】某賓館有若干間住房，住宿記錄提供了如下信息：

（1）4月17日全部住滿，一天住宿費收入為12000元；

（2）4月18日有20間房空著，一天住宿費收入為9600元；

（3）該賓館每間房每天收費標準相同．

①一個分式方程，求解該賓館共有多少間住房，每間住房每天收費多少元？

②通過市場調查發現，每間住房每天的定價每增加10元，就會有5個房間空閑；已知該賓館空閑房間每天每間支出費用10元，有顧客居住房間每天每間支出費用20元，問房價定為多少元時，該賓館一天的利潤為11000元？（利潤＝住宿費收入﹣支出費用）

③在（2）的計算基礎上，你能發現房價定為多少元時，該賓館一天的利潤最大？請直接寫出結論．

Answer 1

【答案】①100間，120元；②160元或170元，11000元；③165元, 11012.5元.

【解析】

①設每間住房每天收費x元，由信息（1）可知該賓館共有住房間，由信息（2）可知該賓館有顧客居住的房間間，根據該賓館的住房間數不變列出分式方程，求解即可；
②根據利潤的計算方法，設每間房的房價為y元，分別表示每間利潤和住房間數及支出費用，根據該賓館一天的利潤為11000元得方程求解；
③設房價定為每間a元時，該賓館一天的利潤為w元，根據利潤的計算方法，列出w關于a的函數關系式，再根據函數的性質即可求解．

解：①設每間住房每天收費x元，根據題意，得

，

解得x＝120，

經經驗，x＝120是原方程的根．

12000÷120＝100．

答：該賓館共有100間住房，每間住房每天收費120元；

②設每間房的房價為y元，根據題意，得

（y﹣20）（100﹣×5）﹣10××5＝11000，

解得：y1＝160，y2＝170．

答：房價定為160元或170元時，該賓館一天的利潤為11000元.

③設房價定為每間a元時，該賓館一天的利潤為w元，根據題意，得

w＝（a﹣20）（100﹣×5）﹣10××5

＝﹣a2+165a﹣2600

＝﹣（a﹣165）2+11012.5，

∴當房價定為165元時，該賓館一天的利潤最大，為11012.5元．