Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為5，點D，P，L分別在邊AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0）．按如圖方式作邊長均為3的等邊△DEF，△PQR，△LMN，點F，R，N分別在射線DA，PB，LC上．

①當邊DE，PQ，LM與△ABC的三邊圍成的圖形是正六邊形時，x＝_____；

②當點D與點B重合時，EF，QR，MN所圍成的三角形的周長為_____．

Answer 1

【答案】 3

【解析】

（1）利用正六邊形的性質，構建方程即可解決問題．

（2）畫出圖形，可知EF，QR，MN所圍成的△OGH是邊長為1的等邊三角形，由此即可解決問題．

（1）∵等邊△ABC中，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，等邊△DEF，△PQR，△LMN中，∠EDF=∠QPR=∠MLN=60°，

∴ADX，BYP，CZL都是等邊三角形，

∵AD＝BP＝CL＝x（x＞0），

∴AX=DX=BY=PY=CZ=LZ=x，

∴DY=PZ=LX=5﹣2x，

當邊DE，PQ，LM與△ABC的三邊圍成的圖形是正六邊形時，5﹣2x=x，

∴x＝，

故答案為：；

（2）當點D與點B重合時，設EF、QR、MN所圍成的三角形為△OGH，由題意可知：△OFM，△EGR，△NHQ都是等邊三角形，BE=BF=FE=AM=AN=MN=CQ=CR=QR=3，

∴FM=ER=QN=3+3-5=1，

∴OF=OM=EG=RG=HN=HQ=1，

∴OG=GH=OH=3-1-1=1，

∴OG+GH+OH=3，

即：EF，QR，MN所圍成的等邊三角形的周長為3．

故答案為3．