Question

【題目】將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（2，0），點B（0，2），點O（0，0）．點M為邊OA上的一個動點（點M不與點O、A重合），沿著BM折疊該紙片，得頂點O的對應點O′．

（I）如圖①，當點O′在邊AB上時，求點O′的坐標；

（II）設直線BO′與x軸相交于點F．

①如圖②，當BA平分∠MBF時，求點F的坐標；

②當OM=時，求點F的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）O'（，2﹣）；（Ⅱ）①F（2，0）；②F（，0）

【解析】

(I) 過點O'作O'H⊥y軸于H，由折疊可知，BO'=BO=2，∠BO'H=∠BAO=45°，利用特殊角的三角函數值求出BH、O'H，從而得到O'的坐標；

(II) ①由BA平分∠MBF時，得到∠OBF=60，利用特殊角的三角函數值求出OF，即可得到點F的坐標；②先說明△FO'M∽△FOB，從而=，設F(a,0)，利用勾股定理，用含a式子表示O'F，代入=，求出a，從而得到點F的坐標.

解：(I)如圖①，過點O'作O'H⊥y軸于H，

由折疊知，△BMO≌△BMO'，

∴BO'=BO=2，

∵O'H∥OA，

∴∠BO'H=∠BAO=45°，

在Rt△BO'H中，O'H=BO'cos∠BO'H=，

∴BH=O'H=，

∴OH=OB﹣BH=2﹣，

∴O'（，2﹣）；

(II)①∵BA平分∠MBF，

∴∠ABO=3∠MBA=45°，

∴∠ABF=∠MBA=15°，

∴∠OBF=∠ABO+∠ABF=60°，

在Rt△BOF中，OF=OBtan60=2，

∴F（2，0）；

②由折疊知，O'M=OM=，O'B=OB=2，∠MO'F=90°=∠FOB，

∵∠FO'M=∠FOB，

∴△FO'M∽△FOB，

∴=，

設F（a，0）（a＞0），

∴OF=a，

在Rt△BOF中，BF=，

∴O'F=﹣2，

∴，

∴a=0（舍）或a=，

F（，0）.

故答案為：(I)O'（，2﹣）；(II)①F（2，0）；②F（，0）