Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為點D，點E的坐標為（0，﹣1），該拋物線與BE交于另一點F，連接BC．

（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）若點H（1，y）在BC上，連接FH，求△FHB的面積；

（3）一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，連接OM，BM，設運動時間為t秒（t＞0），在點M的運動過程中，當t為何值時，∠OMB=90°？

（4）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+；（2）．（3）﹣；（4）在x軸上方的拋物線上，存在點P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先求出GH，點F的坐標，用三角形的面積公式計算即可；（3）設出點M，用勾股定理求出點M的坐標，從而求出MD，最后求出時間t；（4）由∠PBF被BA平分，確定出過點B的直線BN的解析式，求出此直線和拋物線的交點即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，

∴

∴，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；

（2）如圖1，

過點A作AH∥y軸交BC于H，BE于G，

由（1）有，C（0，﹣2），

∵B（0，3），

∴直線BC解析式為y=x﹣2，

∵H（1，y）在直線BC上，

∴y=﹣，

∴H（1，﹣），

∵B（3，0），E（0，﹣1），

∴直線BE解析式為y=﹣x﹣1，

∴G（1，﹣），

∴GH=，

∵直線BE：y=﹣x﹣1與拋物線y=﹣x2+x﹣2相較于F，B，

∴F（，﹣），

∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|

=GH×|xB﹣xF|

=××（3﹣）

=．

（3）如圖2，

由（1）有y=﹣x2+x﹣2，

∵D為拋物線的頂點，

∴D（2，），

∵一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，

∴設M（2，m），（m＞），

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=AB2，

∴m2+4+m2+1=9，

∴m=或m=﹣（舍），

∴M（0，），

∴MD=﹣，

∵一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，

∴t=﹣；

（4）存在點P，使∠PBF被BA平分，

如圖3，

∴∠PBO=∠EBO，

∵E（0，﹣1），

∴在y軸上取一點N（0，1），

∵B（3，0），

∴直線BN的解析式為y=﹣x+1①，

∵點P在拋物線y=﹣x2+x﹣2②上，

聯立①②得，或（舍），

∴P（，），

即：在x軸上方的拋物線上，存在點P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．