Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在B左邊），與y軸交于點C．

（1）如圖1，已知A(﹣1，0)，B(3，0)．

①直接寫出拋物線的解析式；

②點H在x軸上，M(1，0)，連接AC、MC、HC，若CM平分∠ACH，求H的坐標；

（2）如圖2，直線y＝﹣1與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于拋物線對稱軸右側的點為點D，點E與點D關于x軸對稱．試判斷直線DB與直線AE的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x2+2x+3，②(，0)；（2）DB⊥AE，見解析

【解析】

（1）①用待定系數法解答便可；

②過H作HN∥AC與CM的延長線交于點N，證明△ACM∽△HNM，進而得，再在△OCH中，由勾股定理得列出方程便可求得結果；

（2）設DE與x軸交于點K，先求出D點坐標，進而得BK、DK、EK、AK，再計算tan∠BDK和tan∠EAK，得這兩角相等，最后推理得∠BDK+∠E＝90°便可．

（1）①把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得

，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

②過H作HN∥AC與CM的延長線交于點N，如圖1

∴△ACM∽△HNM，

∴，

∴∠ACN＝∠N，

∵CM平分∠ACH，

∴∠HCN＝∠ACN＝∠CNH，

∴CH＝NH，

∴，

∵C（0，3），

∴，

AM＝2，

∴，

∴，

設MH＝2a，則CH＝a，

∵OC2+OH2＝CH2，

∴，

解得，a＝﹣1（舍去），或，

∴，

∴H（，0）；

（2）當y＝﹣1時，y＝﹣x2+bx+c＝﹣1，則x2﹣bx﹣c﹣1＝0，

∴，

∴D（，﹣1），

當y＝0時，y＝﹣x2+bx+c＝0，即x2﹣bx﹣c＝0，則，

∴，，

設DE與x軸交于點K，

則，

∴，

又，

∴，

∴∠BDK＝∠EAK，

∵DE⊥AK，

∴∠EAK+∠E＝90°，

∴∠BDK+∠E＝90°，

∴BD⊥AE．