Question

15、我們知道過n邊形的一個頂點可以做（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把三角形分割成（n-2）個三角形，想一想這是為什么？如圖1．
如圖2，在n邊形的邊上任意取一點，連接這點與各頂點的線段可以把n邊形分成幾個三角形？
想一想，利用這兩個圖形，怎樣證明多邊形的內角和定理．

Answer 1

分析：根據從n邊形的一個頂點可以做（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線要和多邊形的兩邊組成三角形，得出把三角形分割成的三角形個數．
欲證明多邊形的內角和定理，可以把多邊形的內角轉移到三角形中，利用三角形內角和等于180°及平角的性質解答．

解答：解：∵從n邊形的一個頂點可以做（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線要和多邊形的兩邊組成三角形，得出把三角形分割成的三角形個數為：n-3+1=n-2．

證明：方法①連接多邊形的任一頂點A₁與其他各個頂點的線段，把n邊形分成（n-2）個三角形．
因為這（n-2）個三角形的內角和都等于180°，
所以n邊形的內角和是（n-2）×180°．
方法②在n邊形的任意一邊上任取一點P，連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形，
這（n-1）個三角形的內角和等于（n-1）•180°，
以P為公共頂點的（n-1）個角的和是180°，
所以n邊形的內角和是（n-1）•180°-180°=（n-2）•180°．

點評：本題考查了多邊形的內角和定理的證明，解題關鍵是將多邊形的內角和問題轉化為三角形中解決．