Question

利用圖形來表示數量或數量關系，也可以利用數量或數量關系來描述圖形特征或圖形之間的關系，這種思想方法稱為數形結合．我們剛學過的《從面積到乘法公式》就很好地體現了這一思想方法，你能利用數形結合的思想解決下列問題嗎？
（1）如圖，一個邊長為1的正方形，依次取正方形面積的

1

2

、

1

4

、

1

8

、…、

1

2n

，
根據圖示我們可以知道：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=

 

．

利用上述公式計算：2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹=

 

．
（2）如圖，一個邊長為1的正方形，依次取剩余部分的

2

3

，根據圖示

計算：

2

3

+

2

9

+

2

27

+…+

2

3n

=

 

．
（3）如圖是一個邊長為1的正方形，根據圖示

計算：

1

3

+

2

9

+

4

27

+

8

81

+…+

2n-1

3n

=

 

．

Answer 1

分析：整個正方形的面積減去剩余（n+1）部分的面積即前n項面積之和．

解答：解：（1）1-

1

2n

，
2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹（

1

22007

+

1

22006

+…+

1

2

）+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹（1-

1

22007

）+2²⁰⁰⁹=2-2²⁰⁰⁹+4+2²⁰⁰⁹=6；

（2）

2

3

+

2

9

+…+

2

3n

=1-

1

3n

；

（3）

1

3

+

2

9

+

4

27

+

8

81

+…+

2n-1

3n

═1-

2n

3n

．

點評：利用面積差進行計算，考查了根據通項公式求和的新方法．題目新穎．