Question

【題目】平面直角坐標系中，四邊形ABCO是菱形，點C的坐標為（﹣3，4），點A在x軸的正半軸上，O為坐標原點，連接OB，拋物線y＝ax2+bx+c經過C、O、A三點．

（1）直接寫出這條拋物線的解析式；

（2）如圖1，對于所求拋物線對稱軸上的一點E，設△EBO的面積為S1，菱形ABCO的面積為S2，當S1≤S2時，求點E的縱坐標n的取值范圍；

（3）如圖2，D（0，﹣）為y軸上一點，連接AD，動點P從點O出發，以個單位/秒的速度沿OB方向運動，1秒后，動點Q從O出發，以2個單位/秒的速度沿折線O﹣A﹣B方向運動，設點P運動時間為t秒（0＜t≤6），是否存在實數t，使得以P、Q、B為頂點的三角形與△ADO相似？若存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）0≤n≤10且n≠5；（3）t的值為2或．

【解析】

（1）求得菱形的邊長，則A的坐標可以求得，然后利用待定系數法即可求得函數的解析式；

（2）首先求得菱形的面積，即可求得S1的范圍，當S1取得最大值時即可求得直線的解析式，則n的值的范圍即可求得；

（3）分當1＜t＜3.5時和3.5≤t≤6時兩種情況進行討論，依據相似三角形的對應邊的比相等，即可列方程求解．

解：（1）∵C點坐標為（﹣3，4），四邊形ABCD是菱形，

∴OA＝OC＝＝5，A點坐標為（5，0），

根據題意，將C、O、A三點代入y＝ax2+bx+c中得：

，

解得：，

則拋物線的解析式是：；

（2）設BC與y軸相交于點G，則S2＝OGBC＝20，

∴S1≤5，

由C點坐標為（﹣3，4）和CB=5可得B點坐標為（2，4），

所以OB所在直線的解析式是y＝2x，OB＝，

∴當S1＝5時，△EBO的OB邊上的高是．

如圖1，設平行于OB的直線為y＝2x+b，則它與y軸的交點為M（0，b），與拋物線對稱軸x＝交于點E（，n）．

過點O作ON⊥ME，點N為垂足，若ON＝，

∵ME//OB，

∴△MNO∽△OGB，得OM＝5，

∴y＝2x﹣5，

將代入y＝2x﹣5中，解得：y＝0，

即E的坐標是（，0）．

∵與OB平行且到OB的距離是的直線有兩條．

∴由對稱性可得另一條直線的解析式是：y＝2x+5．

則E′的坐標是（，10）．

由題意得得，n的取值范圍是：0≤n≤10且n≠5．

（3）如圖2，動點P、Q按題意運動時，

當1＜t＜3.5時，

OP＝t，BP＝2﹣t，OQ＝2（t﹣1），

連接QP，當QP⊥OP時，有＝sin∠BOQ＝sin∠OBC＝，

∴PQ＝（t﹣1），

若＝，則有＝，

又∵∠QPB＝∠DOA＝90°，

∴△BPQ∽△AOD，

此時，PB＝2PQ，即2﹣t＝（t﹣1），

10﹣t＝8（t﹣1），

∴t＝2；

當3.5≤t≤6時，QB＝10﹣2（t﹣1）＝12﹣2t，如圖連接QP．

如圖3，若QP⊥BP，

則有∠PBQ＝∠ODA，

又∵∠QPB＝∠AOD＝90°，

∴△BPQ∽△DOA，

此時，QB＝PB，即12﹣2t＝（2﹣t），12﹣2t＝10﹣t，

∴t＝2（不合題意，舍去）．

如圖4，若QP⊥BQ，則△BPQ∽△DAO，

此時，PB＝BQ，

即2﹣t＝（12﹣2t），2﹣t＝12﹣2t，

解得：t＝．

則t的值為2或．