Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，邊AD與邊BC交于點P（不與點B、C重合），點B、E在AD異側，OA、OC分別是∠PAC和∠PCA的角平分線．

　　　　

（1）當∠APC =60°時，求∠AOC的度數；

（2）當AB⊥AC，AB=AD=4，AC=3，BC=5時，設AP=x，用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）當AB⊥AC，∠B=20°時，∠AOC的取值范圍為α°<∠AOC <β°，直接寫出α、β的值．

Answer 1

【答案】（1）∠AOC的度數為120°；（2）PD= ，PD的最大值為；（3）α=100，β=145．

【解析】

（1）根據三角形內角和求得∠PAC+∠PCA的度數，然后根據角平分線的定義求得∠OAC+∠OCA的度數，從而求解；

（2）在△ABC中，當AP⊥BC時，AP最小，PD最大，由面積法求出AP的長，即可求出PD的最大值；

（3）如圖，由已知可推出∠BAC=90°，設∠BAP=y，則∠PAC=90°-y，∠PCA=70°，

推出∠AOC=y+100°，，因為0°＜y＜90°，可推出100°＜∠AOC＜145°，即可寫出α、β的值．

解：在△APC中，∠PAC+∠PCA=180°-∠APC=120°

又∵OA、OC分別是∠PAC和∠PCA的角平分線

∴∠OAC+∠OCA=∠PAC+∠PCA=（∠PAC+∠PCA）=60°

∴在△OAC中，∠AOC=180°-60°=120°

（2）∵AD=AB=4，而PD=AD-AP=4-AP=4-x，

∴當AP⊥BC時，AP最小，PD最大，

此時，S△ABC=BCAP=ABAC，

即×5x=×4×3，

解得，x=，

∴PD=，PD的最大值為：4-=；

（3）如圖，

∵AB⊥AC，

∴∠BAC=90°，

設∠BAP=y，則∠PAC=90°-y，∠PCA=70°，

∵OA、OC分別是∠PAC和∠PCA的角平分線，

∴∠OAC=∠PAC，∠OCA=/span>∠PCA，

∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）

=180°-（∠PAC+∠PCA）

=180°-（90°-y+70°）

=y+100°，

∵0°＜y＜90°，

∴100°＜y+100°＜145°，

即100°＜∠AOC＜145°，

∴α=100，β=145．