Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩個動點，且AE=FD，連接BE、CF、BD，CF與BD交于點G，連接AG交BE于點H，連接DH，下列結論正確的個數是（ ）

①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤線段DH的最小值是2 ﹣2．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】

解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°．在△ABE和△DCF中，∵AB=CD，∠BAD=∠ADC，AE=DF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF．在△ADG和△CDG中，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，DG=DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG．∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正確．

同法可證：△AGB≌△CGB．∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正確．

∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD．又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正確．

取AB的中點O，連接OD、OH，∵正方形的邊長為4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD= =，由三角形的三邊關系得，O、D、H三點共線時，DH最小，DH最小=．故⑤正確．

無法證明DH平分∠EHG，故②錯誤，故①③④⑤正確，故選C．