Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M為拋物線y=﹣x2+2nx﹣n2+2n的頂點(diǎn)，過點(diǎn)（0，4）作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在Q的左側(cè)），PQ=4．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）小麗發(fā)現(xiàn)：將拋物線y=﹣x2+2nx﹣n2+2n繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，所得新拋物線的頂點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)O，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，已知點(diǎn)A（1，0），以PA為邊作矩形PABC（點(diǎn)P、A、B、C按順時(shí)針的方向排列）， ．
寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)：C（ ， ）（坐標(biāo)用含有t的代數(shù)式表示）；
（4）若點(diǎn)C在題（2）中旋轉(zhuǎn)后的新拋物線上，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+2nx﹣n2+2n過點(diǎn)P，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，

∴4=﹣x2+2nx﹣n2+2n

解得：x1=n+ ，x2=n﹣ ，

∵PQ=x1﹣x2=4，

∴2 =4，

解得：n=4，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+8x﹣8，

∴4=﹣x2+8x﹣8，

解得：x=2或x=6，

∴P（2，4）．

（2）

解：正確；

∵P（2，4），PQ=4，

∴Q繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)稱點(diǎn)為Q′（﹣2，4），

∴P與Q′正好關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴所得新拋物線的對(duì)稱軸是y軸，

∵拋物線y=﹣x2+8x﹣8=﹣（x﹣4）2+8，

∴拋物線的頂點(diǎn)M（4，8），

∴頂點(diǎn)M到直線PQ的距離為4，

∴所得新拋物線頂點(diǎn)到直線PQ的距離為4，

∴所得新拋物線頂點(diǎn)應(yīng)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（3）﹣4t+2；4+t
（4）

解：由（1）可知，旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是y=ax2，

∵新拋物線是y=ax2過P（2，4），

∴4=4a，

∴a=1，

∴旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是y=x2，

∵C（﹣4t+2，4+t）在拋物線y=x2上，

∴4+t=（﹣4t+2）2，

解得：t=0（舍去）或t= ，

∴t= ．

【解析】解：（3）如圖2，過P作x軸的垂線，交x軸于M，過C作CN⊥MN于N，
∵ ，
∴ = ，
∵△APM∽△PCN，
∴ = = = ，
∵AM=2﹣1=1，PM=4，
∴PN=t，CN=4t，
∴MN=4+t，
∴C（﹣4t+2，4+t），
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．