Question

如圖,是⊙的直徑,、在⊙上,連結,過作∥交于,交⊙于,交于點,且．

（1）判斷直線與⊙的位置關系,并說明理由;
（2）若⊙的半徑為,,,求的長．

Answer 1

（1）直線BP和⊙O相切,理由見解析;（2）BP的長為2．

試題分析：（1）連接BC,求出∠ACB=90°,根據PF∥AC,推出BC⊥PF,求出∠PBC+∠BPF=90°,求出∠PBC+∠ABC=90°,根據切線的判定推出即可;
（2）根據勾股定理求出BC,證△ABC和△BEP相似,得出比例式,即可求出BP．
試題解析：（1）直線BP和⊙O相切,
理由：連接BC,

∵AB是⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,
∵PF∥AC,
∴BC⊥PF,
則∠PBC+∠BPF=90°,
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,
∴∠BPF=∠ABC,
∴∠PBC+∠ABC=90°,
即∠PBA=90°,
∴PB⊥AB,
∵AB是直徑,
∴直線BP和⊙O相切;
（2）由已知,得∠ACB=90°,
∵AC=2,AB=2,
∴由勾股定理得：BC=4,
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,
∴∠BPF=∠ABC,
由（1）,得∠ABP=∠ACB=90°,
∴△ACB∽△EBP,
∴,
解得BP=2,
即BP的長為2．