Question

【題目】如圖所示，E、F分別為線段AC上的兩個點，且DE⊥AC于點E，BF⊥AC于點F，若AB=CD，AE=CF，BD交AC于點M．

(1)試猜想DE與BF的關系，并證明你的結論；

(2)求證：MB=MD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析

【解析】

試題（1）根據BF⊥AC,DE⊥AC，AE=CF AF=AE+EF CE=CF+EF，可以證明Rt△ABF≌Rt△CDE，得DE=

BF；再根據BF⊥AC,DE⊥AC，可以證明DE//BF.（2）根據（1）中的結論，可證△BFM≌△DEM，從而證明MB=MD.

試題解析：（1）①DE與BF的關系可以有DE=BF成立，理由如下：

∵AE=CF AF=AE+EF CE=CF+EF

∴AF=CE 又∵BF⊥AC,DE⊥AC

∴∠BFA=∠DEC=90°

在Rt△ABF和Rt△CDE中

∴Rt△ABF≌Rt△CDE （HL）

∴DE=BF（全等三角形對應邊相等）

②DE與BF的關系可以有DE//BF，理由如下：

∵DE⊥AC BF⊥AC

∴DE//BF

（2）證明：

∵Rt△ABF≌Rt△CDE

∴BF=ED

在△BFM和△DEM中

∴△BFM≌△DEM （AAS）

∴MB=MD