Question

閱讀下面的材料：
小明在學習中遇到這樣一個問題：若1≤x≤m，求二次函數的最大值．他畫圖研究后發現，和時的函數值相等，于是他認為需要對進行分類討論．
他的解答過程如下：
∵二次函數的對稱軸為直線，
∴由對稱性可知，和時的函數值相等．
∴若1≤m＜5，則時，的最大值為2；
若m≥5，則時，的最大值為．

請你參考小明的思路，解答下列問題：
（1）當≤x≤4時，二次函數的最大值為_______；
（2）若p≤x≤2，求二次函數的最大值；
（3）若t≤x≤t+2時，二次函數的最大值為31，則的值為_______．

Answer 1

（1）y="49" （2）y="2p2+4p+1" 或17 (3)t=1或t=-5.

試題分析：(1) ∵y=2x²+4x+1∴y=2(x+1)²-1. ∴對稱軸x="-1,又-2≤x≤4時，y的最大值，當x=4時，y有最大值為49.（2）∵P≤x≤2" 由于二次函數具有對稱性，當x=2與x=-4時，函數值相等，而x=-1時，y有最小值，是因為a﹥0,圖像開口向上。∴當p≤-4，x=p時，y有最大值，y=2p²+4P+1.當-4﹤p≤2，x="2時，y有最大值" y="17.(3)當t≥-1，x=t+2時，y有最大值，即2（t+2" ）²+4(t+2)+1=31  (t+7)(t-1)="0" ∴t₁="1" t₂="-7(舍去)" 當t﹤-1，x=t時，y有最大值，即2t²+4t+1="0" (t+5)(t-3)="0" t₁="-5" t₂=3(舍去)。∴t=1或t=-5解：（1）當時，二次函數的最大值為 49 ；  ……    1分
（2）∵二次函數的對稱軸為直線，
∴由對稱性可知，當和時函數值相等.
∴若，則當時，的最大值為.  .................... 2分
若，則當時，的最大值為17.  ............................. 3分
（3）的值為 或 .  .................................................. 5分
閱卷說明：只寫或只寫得1分；有錯解得0分.
點評：本題是難題，難點在于當自變量x的取值范圍內要考慮到對稱軸的關系，需要討論。此題還可以依據函數的單調性來討論，即是在對稱軸為準，自變量x在那個范圍上是y隨著x的增大而增大，即為增函數，反之，減函數。由此得到函數的最值。