Question

（2013年四川南充8分）如圖，二次函數y=x²+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，且經過點（b－2，2b²－5b－1）.

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）⊙M過A、B、C三點，交y軸于另一點D，求點M的坐標；
（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點M順時針旋轉，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點E、F，若△DMF為等腰三角形，求點E的坐標.

Answer 1

解：（1）把點（b－2，2b²－5b－1）代入y=x²+bx－3b+3，得
2b²－5b－1=（b－2）²+b（b－2）－3b+3， 解得b=2。
∴拋物線的解析式為y=x²+2x－3。
（2）由x²+2x－3=0，得x=－3或x=1。∴A（－3，0）、B（1，0）。
由x=0得y=－3，∴（0，－3）。
∵拋物線的對稱軸是直線x=－1，圓心M在直線x=－1上，
∴設M（－1，n），作MG⊥x軸于G，MH⊥y軸于H，連接MC、MB。

∴MH=1，BG=2。
∵MB=MC，∴BG²+MG²=MH²+CH²，
即4+n²=1+（3+n）²，解得n=－1。∴點M（－1，－1）。
（3）如圖，由M（－1，－1），得MG=MH。
∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH。∴∠1=∠2。
由旋轉可知∠3=∠4， ∴△AME≌△DMF。
若△DMF為等腰三角形，則△AME為等腰三角形。  
設E（x，0），△AME為等腰三角形，分三種情況：
①AE=AM=，則x=－3，∴E（－3，0）。
②∵M在AB的垂直平分線上，∴MA=ME=MB，∴E（1，0）。      
③點E在AM的垂直平分線上，則AE=ME，
AE=x+3，ME²=MG²+EG²=1+（－1－x）²，
∴（x+3）²=1+（－1－x）²，解得x=，∴E（，0）。
∴所求點E的坐標為（－3，0），（1，0），（，0）。

（1）將點（b－2，2b²－5b－1）代入拋物線解析式，求出未知數，從而得到拋物線的解析式。
（2）利用垂徑定理及勾股定理，求出點M的坐標。
（3）首先，證明△AME≌△DMF，從而將“△DMF為等腰三角形”的問題，轉化為“△AME為等腰三角形”的問題；其次，△AME為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，逐一解析計算。