Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=mx2﹣6mx+5m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C， = ．

（1）求m的值；
（2）如圖2，連接BC，點(diǎn)P為點(diǎn)B右側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，連接PA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DE，求證：DE∥AB；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)G在線段PE上，連接DG，若EG=2PG，∠DPE=2∠GDE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對(duì)于拋物線y=mx2﹣6mx+5m，

令y=0，得mx2﹣6mx+5m=0，解得x=1或5，

∴A（1，0），B（5，0），

∴AB=4，

∵ = ，

∴OC=5，

∴5m=5，

∴m=1

（2）

解：如圖2中，設(shè)P（t，t2﹣6t+5）．

∵OC=OB=5，∠AOB=90°，

∴∠OCB=∠OBC=∠EBF=45°，

∵PE⊥AB于F，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=EF=t﹣5，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（t，5﹣t），

∵A（1，0），P（t，t2﹣6t+5），

設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，則有 ，

解得 ，

∴D（0，5﹣t），

∴D、E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，

∴DE∥AB

（3）

解：如圖3中，在DE上截取一點(diǎn)M，使得DM=MG．設(shè)P（t，t2﹣6t+5）．則PE=t2﹣5t．

∵EG=2PG，

∴GE= （t2﹣5t），

∵M(jìn)D=MG，設(shè)DM=MG=a，

∴∠MDG=∠MGD，

∴∠GME=2∠MDG，

∵∠DPE=2∠GDE，

∴∠DPE=∠GME，

∴tan∠DPE=tan∠GME，

∴ = ，

在Rt△MGE中，a2=（t﹣a）2+[ （t2﹣5t）]2，

∴a= t3﹣ t2+ t，

∴EM=t﹣a=﹣ t3+ t2﹣ t，

∴ = ，

整理得到16t2﹣160t+391=0，

解得t= 或 （舍棄），

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（ ， ）

【解析】（1）先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條件求出點(diǎn)C坐標(biāo)，即可解決問題．（2）如圖1中，設(shè)P（t，t2﹣6t+5），想辦法求出D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)（用t表示），只要縱坐標(biāo)相同即可證明．（3）如圖3中，在DE上截取一點(diǎn)M，使得DM=MG．設(shè)P（t，t2﹣6t+5）．則PE=t2﹣5t，設(shè)DM=MG=a，在Rt△MGE中，a2=（t﹣a）2+[ （t2﹣5t）]2 ， 求出a，再根據(jù)tan∠DPE=tan∠GME，得 = ，列出方程即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．