Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于兩個點，和圖形，如果在圖形上存在點，（，可以重合）使得，那么稱點與點是圖形的一對平衡點．

（1）如圖1，已知點，；

①設點與線段上一點的距離為，則的最小值是 ，最大值是 ；

②在，，這三個點中，與點是線段的一對平衡點的是 ；

（2）如圖2，已知的半徑為1，點的坐標為．若點在第一象限，且點與點是的一對平衡點，求的取值范圍；

（3）如圖3，已知點，以點為圓心，長為半徑畫弧交的正半軸于點．點（其中）是坐標平面內一個動點，且，是以點為圓心，半徑為2的圓，若上的任意兩個點都是的一對平衡點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①3，；②；（2）；（3）

【解析】

（1）①觀察圖象d的最小值是OA長,最大值是OB長,由勾股定理得出結果;②由題意知P1；

（2）如圖，可得OE1=3，解得此時x=，OE2=7，解得x=3，可求出范圍；

（3）由點C在以O為圓心5為半徑的上半圓上運動，推出以C為圓心2為半徑的圓剛好與弧HK相切，此時要想弧HK上任意兩點都是圓C的平衡點，需要滿足CK≤6，CH≤6，分兩種情形分別求出b的值即可判斷．

解：（1）①由題意知：OA＝3，OB＝，則d的最小值是3，最大值是；

②根據平衡點的定義，點P1與點O是線段AB的一對平衡點，

故答案為3，，P1；

（2）如圖2中，

由題意點D到⊙O的最近距離是4，最遠距離是6，

∵點D與點E是⊙O的一對平衡點，此時需要滿足E1到⊙O的最大距離是4，即OE1＝3，可得x＝，

同理：當E2到⊙的最小距離為是6時，OE2＝7，此時x＝，

綜上所述，滿足條件的x的值為≤x≤；

（3）∵點C在以O為圓心5為半徑的上半圓上運動，

∴以C為圓心2為半徑的圓剛好與弧HK 相切，此時要想弧HK上任意兩點都是圓C的平衡點需要滿足CK≤6，CH≤6，如圖3-1中，當CK=6時，作CM⊥HK于M．

則，解得：（舍去），

如圖3-3中，當CH=6時，同法可得a=，b=，

在兩者中間時，a=0，b=5，觀察圖象可知：滿足條件的b的值為．