Question

如圖，在⊙M中，弦AB所對的圓心角為120度，已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標系．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）設點P是⊙M上的一個動點，當△PAB為Rt△PAB時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）連接MA，MB，根據等腰三角形的性質可知∠AMO=

1

2

AMB=60°，由直角三角形的性質可求出M點的坐標．
（2）根據△AOM與△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B兩點的坐標，因為A、B兩點關于y軸對稱，故此拋物線關于y軸對稱，根據此特點可設出拋物線的解析式，把A、B兩點的坐標代入即可求出未知數的值，從而求出其解析式．
（3）設P（m，n），根據P在圓上列出方程及PA²+PB²=AB²即可求解．

解答：解：（1）連MA，MB，如圖：
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°，
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）；

（2）∵OC=MC-MO=1  OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1）B（

3

，O），
∵經過A，B，C三點的拋物線關于y軸對稱，
∴設經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+c，
把C（0，-1）和（

3

，0）分別代入上式，
得：a=

1

3

，c=-1，
∴y=

1

3

x²-1；

（3）連接AM并延長交圓于點P，連接PB，
∵90°的圓周角對的弦是直徑，
∴∠P≠90°，
∴∠B=90°或∠A=90°，
當∠B=90°時，AP是直徑，
∵弦AB所對的圓心角為120度，
∴∠P=60°，
∴∠A=30°，
∵圓的半徑為2cm，
∴AP=4，
∴BP=2，
∴點P的坐標為（

3

，2），
同理可得：當∠A=90°時，點P的坐標為（-

3

，2）．
∴點P的坐標為（

3

，2），（-

3

，2）．

點評：本題考查的是圓的性質及二次函數圖象上點的坐標特點，比較復雜，但難度適中，注意細心運算．