Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一點．過點D作一直線截原三角形形成小三角形，并使它和原三角形相似．如果AB=10，AC：BC=3：4，AD=6．請求出DE的長．（注：點E是過點D的直線與△ABC另一邊的交點）

Answer 1

分析：由題意，這樣的小三角形可以作出三個，如下圖所示，利用相似三角形的對應邊成比例，逐個計算即可．

解答：解：依題意得：AB=10，AC=6，BC=8，BD=4，這樣的小三角形可以作出三個．
情況1：過點D作DE∥AC，交BC于點E，
∴∠BDE=∠A，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．
∴

DE

AC

=

BD

BA

．
∴DE=

BD

BA

•AC=

4

10

×6=2.4．

情況2：過點D作DE∥BC，交AC于點E，
∴∠ADE=∠B，
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴

DE

BC

=

AD

AB

．
∴DE=

AD

AB

•BC=

6

10

×8=4.8．

情況3：過點D作DE⊥AB交BC于點E，
∴∠BDE=90°，
∵∠C=90°
∴∠BDE=∠C，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA
∴

DE

AC

=

BD

BC

．∴DE=

BD

BC

•AC=

4

8

×6=3．

點評：本題考查相似三角形的判定和性質，屬開放型的題目，難度不大，但是容易漏解．