Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且∠CBD=∠A．
（1）觀察圖形，猜想BD與⊙O的位置關系：

相切

；
（2）證明第（1）題的猜想．

Answer 1

分析：（1）觀察圖形，可得BD與⊙O的位置關系：相切；
（2）首先連接OD，由AE是⊙O的直徑，在Rt△ABC中，∠C=90°，易證得DE∥BC，又由∠CBD=∠A，可證得∠ODE+∠EDB=90°，即可證得結論．

解答：（1）解：相切．
故答案為：相切．

（2）證明：連接OD，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠AED=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∵∠CBD=∠A，
∴∠EDB=∠A，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE+∠EDB=90°，
即OD⊥BD，
∴BD與⊙O的位置關系是相切．

點評：此題考查了切線的判定以及平行線的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意數形結合思想的應用．