Question

（2012•深圳）如圖，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6）．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）設直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE；
（3）設拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC于點F，試問以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似嗎？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數發求解即可得出拋物線的解析式；
（2）求出直線BC的函數解析式，從而得出點E的坐標，然后分別求出AE及CE的長度即可證明出結論；
（3）求出AD的函數解析式，然后結合直線BC的解析式可得出點F的坐標，由題意得∠ABF=∠CBA，然后判斷出

BF

AB

是否等于

AB

BC

即可作出判斷．

解答：解：（1）設函數解析式為：y=ax²+bx+c，
由函數經過點A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6），
可得

16a-4b+c=0 a+b+c=0 4a-2b+c=6

，
解得：

a=-1 b=-3 c=4

，
故經過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=-x²-3x+4；

（2）設直線BC的函數解析式為y=kx+b，
由題意得：

k+b=0 -2k+b=6

，
解得：

k=-2 b=2

，
即直線BC的解析式為y=-2x+2．
故可得點E的坐標為（0，2），
從而可得：AE=

AO2+OE2

=2

5

，CE=

(-2-0)2+(6-2)2

=2

5

，
故可得出AE=CE；

（3）相似．理由如下：
設直線AD的解析式為y=kx+b，
則

-4k+b=0 b=4

，
解得：

k=1 b=4

，
即直線AD的解析式為y=x+4．
聯立直線AD與直線BC的函數解析式可得：

y=x+4 y=-2x+2

，
解得：

x=- 2 3 y= 10 3

，
即點F的坐標為（-

2

3

，

10

3

），
則BF=

(- 2 3 -1)2+( 10 3 -0)2

=

5 5

3

，
又∵AB=5，BC=

(-2-1)2+(6-0)2

=3

5

，
∴

BF

AB

=

5

3

，

AB

BC

=

5

3

，
∴

BF

AB

=

AB

BC

，
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：此題屬于二次函數的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質、待定系數法求二次函數解析式，兩點間的距離公式，解答本題要求我們仔細審題，將所學知識聯系起來，綜合解答．