Question

【題目】已知，如圖，正比例函數y=ax的圖像與反比例函數的圖像交于點A（3,2）．

（1）求正比例函數與反比例函數的表達式；

（2）根據圖像直接寫出在第一象限內，的x的取值范圍；

（3）M（m，n）是反比例函數圖像上的一個動點，其中0＜m＜3，過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B；過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D．當四邊形OADM的面積為6時，證：BM=DM.

Answer 1

【答案】（1）正比例函數表達式為y＝x，反比例函數表達式為（2）0＜x＜3（3）見解析

【解析】

（1）把A點坐標分別代入兩函數解析式可求得a和k的值，可求得兩函數的解析式；

（2）由反比例函數的圖象在正比例函數圖象的下方可求得對應的x的取值范圍；

（3）用M點的坐標可表示矩形OCDB的面積和△OBM的面積，從而可表示出四邊形OADM的面積，可得到方程，可求得M點的坐標，從而可證明結論．

（1）∵正比例函數y＝ax的圖象與反比例函數的圖象交于點A（3，2），

∴2＝3a，2＝，解得a＝，k＝6，

∴正比例函數表達式為y＝x，反比例函數表達式為；

（2）由圖象可知當兩函數圖象在直線CD的左側時，反比例函數的圖象在正比例函數圖象的上方，

∵A（3，2），

∴當0＜x＜3時，反比例函數的值大于正比例函數的值；

（3）由題意可知四邊形OCDB為矩形，

∵M（m，n），A（3，2），

∴OB＝n，BM＝m，OC＝3，AC＝2，

∴S矩形OCBD＝OCOB＝3n，S△OBM＝OBBM＝mn，S△OCA＝OCAC＝3，

∴S四邊形OADM＝S矩形OCBDS△OBMS△OCA＝3nmn3，

當四邊形OADM的面積為6時，則有3nmn3＝6，

又∵M點在反比例函數圖象上，

∴mn＝6，

∴3n＝12，解得n＝4，則m＝，

∵BD＝OA＝3，

∴M為BD中點，

∴BM＝DM．