Question

如圖，直線l₁分別交x軸、y軸于A、B兩點，且AO=8，BO=8

3

，與直線y=

3

x交于點C．平行于y軸的直線L₂從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點時停止；l₂分別交線段BC、OC、x軸于點D、E、P，以DE為邊向左側作等邊△DEF，設直線l₂的運動時間為t（秒）．
（1）直接寫出直線l₁的解析式；
（2）以D、E、O、F為頂點的多邊形能否為梯形，若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；
（3）設△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），試探究：S與t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）當x=0，y=OB，當y=0，求得k值，從而求得直線表達式；
（2）依題意P點橫坐標為x即為t，根據l₁，l₂的解析式表示DE的長，當F點落在y軸上時，四邊形DEOF為梯形，此時P點橫坐標為DE的二分之根號3倍，列方程求解；
（3）以P點落在y軸為分界，求出分界時，t的值，按照P點在△BOC外，P點在△BOC內，兩種情況，求得面積的表達式．

解答：解：（1）設直線1為y=kx+b，
當x=0時，y=b=OB=8

3

，
當y=0時，-8

3

=8k，則k=-

3

，
所以直線為：y=-

3

x+8

3

①；

（2）當F在y軸上時，OFDE四點成為梯形，
設P（x，0），
∵直線y=

3

x，
∴∠EOP=60°，
∴OE=2OP，
∴OE=2x，
則DE=

2 3 x

3

，
由（1）所得DE=-

3

x+8

3

-

3

x=-2

3

x+8

3

，
解得x=3即t=3；

（3）設點P的橫坐標為x_P，
∵直線1y=-

3

x+8

3

與直線y=

3

x交于點C，
∴C（4，4

3

）；
當x_P=0時，則S=0；
當0＜x_P＜3時，
由以上DE=-2

3

t+8

3

，
梯形的上底=DE-2DM=-2

3

t+8

3

-

2 3 t

3

，
所以面積S=

1

2

×(DE+HN)t=-

7 3 t2

3

+ 8

3

t．
當3≤x_P＜4時，△DEF與△BCO重疊部分的面積為△DEF的面積，
∴S=

1

2

×DE×FV
=（-

3

t+4

3

）×（-3t+12）
=3

3

t²-24

3

t+48

3

．

點評：本題考查了一次函數的綜合運用，（1）當x=0，y=OB，當y=0，求得k值，從而求得直線表達式．（2）依題意P點橫坐標為x即為t，根據l₁，l₂的解析式表示DE的長，當F點落在y軸上時，四邊形DEOF為梯形，從而列式計算得．（3）當P在y軸或者在三角形BOC外，則S=0；P點在△BOC內，兩種情況，部分求面積的表達式．