【題目】如圖a,網格中的每一個正方形的邊長為1，△ABC為格點三角形，直線MN為格點直線（點A、B、C、M、N在小正方形的頂點上）.
（1）僅用直尺在圖a中作出△ABC關于直線MN的對稱圖形△A′B′C′.
（2）如圖b，僅用直尺將網格中的格點三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影.
（3）如圖c，僅用直尺作三角形ABC的邊AC上的高,簡單說明你的理由.
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析，理由見解析.
【解析】
（1）根據軸對稱的性質及方格的特點，分別作出A、B、C關于直線MN的對稱點
，再順次連接即可；
（2）根據方格的特點，利用三角形面積公式把面積分三等份即可；
（3）根據方格的特點以及全等三角形的判定和性質，利用線段垂直平分線的定義求解.
(1)如圖，△A′B′C′為所求作；
（2）如圖，取格點O,計算可知S△AOC=S△BOC=S△AOB=2(平方單位）
（3）如圖，選擇格點D、E，證明△ABD≌△CBE.于是，AB=CB.
選擇格點Q，證明△ABQ≌△CBQ,于是，AQ=CQ.
∴BQ為線段AC的垂直平分線，
設BQ與AC相交于點F，則BF為所要求的△ABC的邊AC上的高.
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【題目】在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是（0，4），（1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′.
（1）若拋物線經過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點M的坐標.
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【題目】如圖①，四邊形OACB為長方形，A（﹣6，0），B（0，4），直線l為函數y＝﹣2x﹣5的圖象．
（1）點C的坐標為 ；
（2）若點P在直線l上，△APB為等腰直角三角形，∠APB＝90°，求點P的坐標；
小明的思考過程如下：
第一步：添加輔助線，如圖②，過點P作MN∥x軸，與y軸交于點N，與AC的延長線交于點M；
第二步：證明△MPA≌△NBP；
第三步：設NB＝m，列出關于m的方程，進而求得點P的坐標．
請你根據小明的思考過程，寫出第二步和第三步的完整解答過程；
（3）若點P在直線l上，點Q在線段AC上（不與點A重合），△QPB為等腰直角三角形，直接寫出點P的坐標．
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【題目】如圖，3×3的方格分為上中下三層，第一層有一枚黑色方塊甲，可在方格A、B、C中移動，第二層有兩枚固定不動的黑色方塊，第三層有一枚黑色方塊乙，可在方格D、E、F中移動，甲、乙移入方格后，四枚黑色方塊構成各種拼圖．
（1）若乙固定在E處，移動甲后黑色方塊構成的拼圖是軸對稱圖形的概率是________．
（2）若甲、乙均可在本層移動．
①用樹形圖或列表法求出黑色方塊所構拼圖是軸對稱圖形的概率________．
②黑色方塊所構拼圖是中心對稱圖形的概率是________．
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【題目】（模型建立）
（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．
求證：△BEC≌△CDA；
（模型應用）
（2）① 已知直線l1：y＝
x＋8與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉45
至直線l2，如圖2，求直線l2的函數表達式；
② 如圖3，長方形ABCO，O為坐標原點，點B的坐標為（8，－6），點A、C分別在坐標軸上，點P是線段BC上的動點，點D是直線y＝－3x＋6上的動點且在y軸的右側．若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D的坐標．
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【題目】已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．
（1）畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是 ；
（2）以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；
（3）四邊形AA2C2C的面積是 平方單位．
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【題目】一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．且矩形的長與寬的比為3：2，求這個矩形零件的邊長．
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【題目】觀察發現：如圖（1），
是
的外接圓，點
是邊
上的一點，且
是等邊三角形．
與
交于點
，以
為圓心、
為半徑的圓交于點
，連接
．
（1）
_____；
（2）線段
、
有何大小關系？證明你的猜想．
拓展應用：如圖（2），
是等邊三角形，點
是
延長線上的一點．點是
的外接圓圓心，
與
相交于點．如果等邊三角形
的邊長為2,請直接寫出
的最小值和此時
的度數．
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