Question

【題目】如圖，在∠DAM內部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，點N為BC的中點，動點E由A點出發，沿AB運動，速度為每秒5個單位，動點F由A點出發，沿AM運動，速度為每秒8個單位，當點E到達點B時，兩點同時停止運動，過A、E、F作⊙O．

（1）判斷△AEF的形狀為　 　，并判斷AD與⊙O的位置關系為　 　；

（2）求t為何值時，EN與⊙O相切，求出此時⊙O的半徑，并比較半徑與劣弧長度的大��；

（3）直接寫出△AEF的內心運動的路徑長為　 　；（注：當A、E、F重合時，內心就是A點）

（4）直接寫出線段EN與⊙O有兩個公共點時，t的取值范圍為　 　．

（參考數據：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形，相切；（2）t=1，半徑為，劣弧長度大于半徑；（3）；（4）1≤t≤

【解析】

（1）過點E作EH⊥AF于H，連接OA、OE、OH，由勾股定理求出BC＝＝6，設運動時間為t，則AE＝5t，AF＝8t，證明△EAH∽△BAC，得出，求出AH＝4t，則FH＝AF﹣AH＝4t，AH＝FH，得出△AEF是等腰三角形，證明E、H、O三點共線，得出∠OAF+∠AOE＝90°，由AB平分∠DAM，得出∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，由圓周角定理得出∠AOE＝2∠EFA，則∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，即可得出AD與⊙O相切；

（2）連接OA、OF、OE，OE于AC交于H，易證四邊形EHCN為矩形，得出EH＝NC，由勾股定理得出EH＝＝3t，則NC＝3t，BC＝2NC＝6t，由BC＝6，得出t＝1，則AH＝4，EH＝3，設⊙O的半徑為x，則OH＝x﹣3，由勾股定理得出OA2＝OH2+AH2，解得x＝，得出OH＝，tan∠AOH＝，得出∠AOH＝74°，由∠AOH＝60°時，△AOE是等邊三角形，AE＝OA，74°＞60°，得出AE＞OA，則劣弧長度的大于半徑；

（3）當點E運動到B點時，t＝2，AF＝16，AE＝EF＝AB＝10，此時△AEF的內心記為G，當A、E、F重合時，內心為A點，△AEF的內心運動的路徑長為AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，連接AG、GF，則CG＝PG＝NQ，S△AEF＝AFBC＝48，設CG＝PG＝NQ＝a，則S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AFCG+AEPG+EFNQ＝×(16+10+10)a＝48，解得a＝，由勾股定理得出AC2+CG2＝AG2，得出AG＝；

（4）分別討論兩種極限位置，①當EN與⊙O相切時，由（2）知，t＝1；②當N在⊙O上，即ON為⊙O的半徑，連接OA、ON、OE，OE交AC于H，過點O作OK⊥BC于K，則四邊形OKCH為矩形，OA＝OE＝ON，得出OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，設⊙O的半徑為x，由勾股定理得出AH2+OH2＝OA2，解得x＝t，則OH＝CK＝t，由勾股定理得出，解得t＝，即可得出結果．

（1）過點E作EH⊥AF于H，連接OA、OE、OH，如圖1所示：

∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC＝＝6，

設運動時間為t，則AE＝5t，AF＝8t，

∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，

∴△EAH∽△BAC，

∴，即，

∴AH＝4t，

∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，

∴AH＝FH，

∵EH⊥AF，

∴△AEF是等腰三角形，

∴E為的中點，∠EAF＝∠EFA，

∵AH＝FH，

∴OH⊥AC，

∴E、H、O三點共線，

∴∠OAF+∠AOE＝90°，

∵AB平分∠DAM，

∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，

∵∠AOE＝2∠EFA，

∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，

∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，

∵OA為⊙O的半徑，

∴AD與⊙O相切；

故答案為：等腰三角形，相切；

（2）連接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如圖2所示：

由（1）知：EH⊥AC，

∵EN與⊙O相切，

∴∠OEN＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴四邊形EHCN為矩形，

∴EH＝NC，

在Rt△AHE中，EH＝＝3t，

∴NC＝3t，

∵點N為BC的中點，

∴BC＝2NC＝6t，

∵BC＝6，

∴6t＝6，

∴t＝1，

∴AH＝4，EH＝3，

設⊙O的半徑為x，則OH＝x﹣3，

在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝(x﹣3)2+42，

解得：x＝，

∴⊙O的半徑為，

∴OH＝，

∴tan∠AOH＝＝，

∴∠AOH＝74°，

∵∠AOH＝60°時，△AOE是等邊三角形，AE＝OA，74°＞60°，

∴AE＞OA，

∴劣弧長度的大于半徑；

（3）當點E運動到B點時，t＝10÷5＝2，

∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，

此時△AEF的內心記為G，當A、E、F重合時，內心為A點，

∴△AEF的內心運動的路徑長為AG，

作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，連接AG、GF，則CG＝PG＝NQ，如圖3所示：

S△AEF＝AFBC＝×16×6＝48，

設CG＝PG＝NQ＝a，

則S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AFCG+AEPG+EFNQ＝×(16+10+10)a＝48，

解得：a＝，

在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+()2＝AG，

∴AG＝，

故答案為：；

（4）分別討論兩種極限位置，

①當EN與⊙O相切時，由（2）知，t＝1；

②當N在⊙O上，即ON為⊙O的半徑，

連接OA、ON、OE，OE交AC于H，過點O作OK⊥BC于K，如圖4所示：

則四邊形OKCH為矩形，OA＝OE＝ON，

∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，

設⊙O的半徑為x，

則在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即(4t)2+(x﹣3t)2＝x2，

解得：x＝t，

∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，

在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即(8﹣4t)2+(3+t)2＝(t)2，

解得：t＝，

∴線段EN與⊙O有兩個公共點時，t的取值范圍為：1≤t≤，

故答案為：1≤t≤．