Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（﹣8，3），B（﹣4，0），C（﹣4，3），∠ABC=α°．拋物線y= x2+bx+c經過點C，且對稱軸為x=﹣ ，并與y軸交于點G．

（1）求拋物線的解析式及點G的坐標；
（2）將Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位，使B點移到點E，然后將三角形繞點E順時針旋轉α°得到△DEF．若點F恰好落在拋物線上．
①求m的值；
②連接CG交x軸于點H，連接FG，過B作BP∥FG，交CG于點P，求證：PH=GH．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意得：

解得：

∴拋物線的解析式為：y= x2+ x- ，點G（0，﹣ ）

（2）

解：①過F作FM⊥y軸，交DE于M，交y軸于N，

由題意可知：AC=4，BC=3，則AB=5，FM= ，

∵Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位，使B點移到點E，

∴E（﹣4+m，0），OE=MN=4﹣m，FN= ﹣（4﹣m）=m﹣ ，

在Rt△FME中，由勾股定理得：EM= = ，

∴F（m﹣ ， ），

∵F拋物線上，

∴ = （m﹣ ）2+ （m﹣ ）﹣ ，

5m2﹣8m﹣36=0，

m1=﹣2（舍）， ；

②易求得FG的解析式為：y= x﹣ ，

CG解析式為：y=﹣ x﹣ ，

∴ x﹣ =0，x=1，則Q（1，0），

﹣ x﹣ =0，x=﹣1.5，則H（﹣1.5，0），

∴BH=4﹣1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，

∴BH=QH，

∵BP∥FG，

∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，

∴△BPH≌△QGH，

∴PH=GH．

【解析】（1）把點C坐標代入y= x2+bx+c得一方程，利用對稱軸公式得另一方程，組成方程組求出解析式，并求出G點的坐標；（2）①作輔助線，構建直角△DEF斜邊上的高FM，利用直角三角形的面積相等和勾股定理可表示F的坐標，根據點F在拋物線上，列方程求出m的值；②F點和G點坐標已知，可以求出直線FG的方程，那么FG和x軸的交點坐標（設為Q）可以知道，C點坐標已知，CG的方程也可以求出，那么H點坐標可以求出，可以證明△BPH和△MGH全等．本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數（二次函數、一次函數）的解析式，利用解析式求與坐標軸交點坐標，利用面積法求斜邊上的高及三角形全等的性質等；綜合性較強，但難度不大，是一道不錯的中考壓軸題．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和全等三角形的性質的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等才能正確解答此題．