Question

操作：如圖①，點O為線段MN的中點，直線PQ與MN相交于點O，請利用圖①畫出一對以點O為對稱中心的全等三角形．
根據上述操作得到的經驗完成下列探究活動：
探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．試探究線段AB與AF、CF之間的等量關系，并證明你的結論；
探究二：如圖③，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的長度．

Answer 1

（1）如圖

（2）結論：AB=AF+CF．
證明：分別延長AE、DF交于點M．
∵E為BC的中點，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE與△MCE中，
∵

∠BAE=∠M ∠AEB=∠MEC BE=CE

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AB=MC，
又∵∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
又∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+CF；

（3）分別延長DE、CF交于點G．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE∽△GCE，
∴

AB

GC

=

BE

EC

，
又∵

BE

EC

=

1

2

，
∴

AB

GC

=

1

2

，
∵AB=5，
∴GC=10，
∵FC=1，
∴GF=9，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴GF=DF，
∴DF=9．